取一个浅盒和一张纸，纸恰好盖住盒内的底面。可想而知此时纸上的每个点与正在它下面的盒底上的那些点配成对。把这张纸拿起来，随机地揉成一个小球，再把小球扔进盒里。拓扑学家已经证明，不管小球是怎样揉成的，也不管它落在盒底的什么地方，在揉成小球的纸上至少有一个这样的点，它恰好处在它盒底原来配对点的正上方，通过具体找到这个点，就能说明这个问题了吧？如何找这个点？

    纸被揉成球以后，看它现在投到纸盒底部的影子。纸盒底部的影子区域肯定比纸盒底要小。那么，就取【纸盒底部的在影子内的那个部分】，它肯定对应于纸团里面的某一小团部分。（因为整个底板对应于整个纸团，那么地板的一部分就肯定对应于一部分纸团）假如去掉纸团的其他部分，那一小团部分同样可以在纸盒底面投影，而且投影肯定比刚才的大投影小，而且在它之内。（因为它是在整个纸团之内）。那么，取这一小片投影（注意这片影子肯定是连续的不会断开，因为纸没有撕裂），当它再往纸团里对应的时候，肯定对应于其中更小的一团。我们再次把多余的纸去掉。

就是说：

整个纸盒对应于纸团

纸盒【在纸团投影内的部分】对应于纸团内的一小块

纸盒【一小块的投影的部分】对应于刚才那一小块内的更小一块

纸盒【更小块投影的部分】对应于更小块中的更更小一块

…………………………

不断地去掉纸无限次，最后纸团只剩下了一个点，它的投影就对应于纸盒的一个点

 

另一个简单通俗的例子：一杯牛奶静止的放在桌上，慢慢的并且连续的搅动和旋转杯中的牛奶，然后让牛奶逐渐自行静止下来。Brouwer指出，在这杯重新处于静止状态的牛奶中至少有一点恢复到尚未搅动前它在杯中原先的位置。

不动点定理是拓扑空间的一个著名定理。但是通俗地讲就是f(x)=x有唯一解，这里f(x)是压缩的连续映射（即f是连续的，且它的值域是定义域的真子集）。

 上例中：杯子等同于一个有边界的闭集，相当于是一个压缩影射（连续函数的介值定理）。

 

经济平衡点问题

　　设有N个生产者P₁，P₂，…，PN各生产某种产品G₁，…，G_n，数量分别为X₁，X₂，…，X_n，x_ij表示P_i的产品被P_j消费的数量，

　　为第i种产品的最大需求量．a_ij＝x_ij／X_j称为生产系数．我们假定它们是与X_i无关的常数，此时有

(I-A)X＝Y

　　此处A＝(a_ij)．经济平衡点问题是给出Y＝(Y₁，Y₂，…，Y_n)求X＝(X₁，X₂，…，X_n)．然而实际上应认为a_ij是连续的非负函数．(这比假定a_ij是常数更接近实际)，这样就会涉及到非线性映射的不动点了．

　　现在假设生产者P_i当其收入为x_i时用于购买第j种产品G_j所花的钱为f_ij(x_i)，我们称之为需求函数．当x=0时，所有f_ij(x_i)=0．

　　如果P_i以所有收入买别人的产品，则有等式

 xi= ∑fij(xi)

　　另一方面，表示P_i收入的x_i应是各个生产者P_j购买G_i的总值：

 xi= ∑fij(xj)

　　这样我们所要解决的经济平衡点问题的提法是：

　　如果关于x_i有N个单变量函数f_ij(x_i)(j=1，2，…，N)，再按照i=1，2，…，N排成N₂个函数的方阵，记x=(x₁，x₂，…，x_n)，满足

 xi= ∑fij(xi)

　　则必存在点x*=(x₁*，x₂*，…，x_n*)满足

 xi*= ∑fij(xi*)

　　定理6.11(Istratescu) 上述问题是有解的．

　　证：C=｛y=(y1,…,yn)︳yi≧0,∑yi=1｝

　　显然它是一闭凸集，又因它有界，故是紧集．今定义函数

(g(y))j=∑fij(y)

　　则g是C→C的自映射，由布劳威尔不动点定理，必存在x^*使

 xi*= ∑fij(xi*)

　　这就证明了定理．